Ao observarmos a bola de futebol verificamos que embora as áreas do hexágono (brancas) estejam lado a lado, nós jamais vemos duas áreas de pentágonos se tocando (os pentágonos nunca compartilham uma extremidade).
Na verdade, cada pentágono (área escura) é separado do seguinte pelos hexágonos.
Se considerar a simetria e observar cuidadosamente, verá que cada canto da bola de futebol reside em um pentágono (nenhum está em um hexágono apenas).
Como há 12 pentágonos e cada pentágono possui cinco cantos, então deve haver 12 x 5 = 60 cantos na bola de futebol.
Lei de Euler
O matemático Euler (suíço, séc XVIII) descobriu uma fórmula simples que conta o número de faces (F), cantos (C) e o número de extremidades (E) em formas simples:
Ele observou que F + C - E = 2 para diversas formas,onde F, C e E são os números correspondentes a face, cantos e extremidades.
Por exemplo, pegue um cubo (um dado): ele possui seis faces, 8 cantos e 12 extremidades – então nós temos 6 + 8 - 12 = 2, o que funciona.
Agora, em uma bola de futebol nós temos 60 cantos e cada canto tem 3 extremidades (que se seguem entre dois cantos). Isso significa que há 3/2 de extremidades para cada canto, resultando em um total para a bola toda de 60 x 3/2 = 90 extremidades.
Agora sabemos que temos:
C = 60, E = 90, F = número de pentágonos + hexágonos = 12 + H
Convertendo estes na fórmula C + F - E = 2, podemos utilizá-la para prever o número de hexágonos (H):
C + F - E = 2
60 + (12 + H) - 90 = 2
o que, reestruturando, nos dá:
H = 2 + 90 - 12 - 60 =20 hexágonos na bola de futebol.
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