domingo, 30 de janeiro de 2011

Curiosidade matemática para 2011

Este ano vamos experimentar quatro datas incomuns .... 1/1/11, 1/11/11, 11/1/11, 11/11/11

e ... Tem mais!!!

Pegue os últimos 2 dígitos do ano em que nasceu mais a idade que você vai ter este ano e será igual a 111 para todos!

ALGUEM EXPLICA O QUE É ISSO ???"

sexta-feira, 28 de janeiro de 2011

Tacada de Mestre - cálculo bem efetuado

Os desafios de Malba Tahan

Enigma matemático

Nesta multiplicação cada imagem representa um algarismo (figuras diferentes, algarismos diferentes).
Dica: 3 algarismos não aparecem neste cálculo.
Qual é o algarismo representado por cada figura?

Geometria das Abelhas

As abelhas constroem os favos com extrema regularidade, com um trabalho que parece executado com cálculos prévios, onde a Matemática é a grande auxiliar.
Os favos são construídos com favos fabricados pelas abelhas. Desta forma, elas precisam construir alvéolos com perímetro reduzido e área maximizada.
Alguns matemáticos explicam que somente com quadrados, triângulos regulares e hexágonos regulares podem formar pavimentações de modo que não exista nenhum espaço entre eles.
Então porque as abelhas utilizam o hexágono?
Vamos analisar um quadrado, um triângulo e um hexágono com o mesmo perímetro (1200 u.a.) para ver qual deles possui a maior área.

Área do triângulo
Lado = 400 u.c.
Altura = 346 u.c.
Então: 400 x 346 = 138400 : 2 = 69200 u. a.

Área do quadrado
Lado = 300 u.c.
Altura = 346 u.c.
Então: 300 x 300 = 90000 u.a.

Área do hexágono
Lado = 200 u.c.
Altura = 100V3 u.c. (V= raiz quadrada)
Então: 200 x 100V3 = 20000V3 x 6 ≈102000 u.a.

Portanto as abelhas resolveram um problema complicado: no menor espaço constroem células regulares e iguais, com a maior capacidade e solidez, empregando a menor quantidade de matéria prima possível.

Problema clássico: galinhas e coelhos

Em um terreiro há galinhas e coelhos, num total de 13 animais e 46 pés. Quantas são as galinhas e quantos são os coelhos?

Sendo galinhas = G (2 pés) e
Coelhos = C (4 pés) temos:

G + C = 13 e 2G + 4C = 46.

Ou seja: G = 13 – C

Então 2(13 – C) + 4C = 46.

Assim C = 10 e G = 3

Matemática no cardápio

-Quantas calorias você consome por dia?

1) Se você tem entre 18 e 30 anos:
Faça o seguinte cálculo: 14,7 x seu peso + 498 = número de calorias que pode ingerir para emagrecer ou, valor + 30% para manter.


2) Se você tem entre 30 e 45 anos:
Faça o seguinte cálculo: 8,7 x seu peso + 829 = número de calorias que pode ingerir para emagrecer ou, valor + 30% para manter.

Aplicação da Lei de Euler - estrutura da bola de futebol

Ao observarmos a bola de futebol verificamos que embora as áreas do hexágono (brancas) estejam lado a lado, nós jamais vemos duas áreas de pentágonos se tocando (os pentágonos nunca compartilham uma extremidade).
Na verdade, cada pentágono (área escura) é separado do seguinte pelos hexágonos.
Se considerar a simetria e observar cuidadosamente, verá que cada canto da bola de futebol reside em um pentágono (nenhum está em um hexágono apenas).
Como há 12 pentágonos e cada pentágono possui cinco cantos, então deve haver 12 x 5 = 60 cantos na bola de futebol.
Lei de Euler
O matemático Euler (suíço, séc XVIII) descobriu uma fórmula simples que conta o número de faces (F), cantos (C) e o número de extremidades (E) em formas simples:
Ele observou que F + C - E = 2 para diversas formas,onde F, C e E são os números correspondentes a face, cantos e extremidades.
Por exemplo, pegue um cubo (um dado): ele possui seis faces, 8 cantos e 12 extremidades – então nós temos 6 + 8 - 12 = 2, o que funciona.
Agora, em uma bola de futebol nós temos 60 cantos e cada canto tem 3 extremidades (que se seguem entre dois cantos). Isso significa que há 3/2 de extremidades para cada canto, resultando em um total para a bola toda de 60 x 3/2 = 90 extremidades.
Agora sabemos que temos:
C = 60, E = 90, F = número de pentágonos + hexágonos = 12 + H
Convertendo estes na fórmula C + F - E = 2, podemos utilizá-la para prever o número de hexágonos (H):
C + F - E = 2
60 + (12 + H) - 90 = 2
o que, reestruturando, nos dá:
H = 2 + 90 - 12 - 60 =20 hexágonos na bola de futebol.

Número Capícua

Um número é capicua quando lido da esquerda para a direita ou da direita para a esquerda representa sempre o mesmo valor, como por exemplo 77, 434, 6446, 82328. Para obter um número capicua a partir de outro, inverte-se a ordem dos algarismos e soma-se com o número dado, um número de vezes até que se encontre um número capicua, como por exemplo:

Partindo do número 84: 84 + 48 = 132; 132 + 231 = 363, que é um número capicua.

Multiplicando por 37

Veja que interessante:
3 x 37 = 111
6 x 37 = 222
9 x 37 = 333
12 x 37 = 444
15 x 37 = 555
18 x 37 = 666
21 x 37 = 777
24 x 37 = 888
27 x 37 = 999

Curiosidades com Números

12345679 x 9 = 111111111
12345679 x 18 = 222222222
12345679 x 27 = 333333333
12345679 x 36 = 444444444
12345679 x 45 = 555555555
12345679 x 54 = 666666666
12345679 x 63 = 777777777
12345679 x 72 = 888888888
12345679 x 81 = 999999999

9 x 9 + 7 = 88
9 x 98 + 6 = 888
9 x 987 + 5 = 8888
9 x 9876 + 4 = 88888
9 x 98765 + 3 = 888888
9 x 987654 + 2 = 8888888
9 x 9876543 + 1 = 88888888
9 x 98765432 + 0 = 888888888

9 x 1 + 2 = 11
9 x 12 + 3 = 111
9 x 123 + 4 = 1111
9 x 1234 + 5 = 11111
9 x 12345 + 6 = 111111
9 x 123456 + 7 = 1111111
9 x 1234567 + 8 = 11111111
9 x 12345678 + 9 = 111111111
9 x 123456789 + 10 = 1111111111

11 x 11 = 121
111 x 111 = 12321
1111 x 1111 = 1234321
11111 x 11111 = 123454321
111111 x 111111 = 12345654321
1111111 x 1111111 = 1234567654321
11111111 x 11111111 = 123456787654321
111111111 x 111111111 = 12345678987654321

9 x 7 = 63
99 x 77 = 7623
999 x 777 = 776223
9999 x 7777 = 77762223
99999 x 77777 = 7777622223
999999 x 777777 = 777776222223
9999999 x 7777777 = 77777762222223
99999999 x 77777777 = 7777777622222223

1 x 7 + 3 = 10
14 x 7 + 2 = 100
142 x 7 + 6 = 1000
1428 x 7 + 4 = 10000
14285 x 7 + 5 = 100000
142857 x 7 + 1 = 1000000
1428571 x 7 + 3 = 10000000
14285714 x 7 + 2 = 100000000
142857142 x 7 + 6 = 1000000000
1428571428 x 7 + 4 = 10000000000
14285714285 x 7 + 5 = 100000000000
142857142857 x 7 + 1 = 1000000000000

Potenciação de Frações

Vamos calcular a potência (2/5)³= 2/5 x 2/5 x 2/5 = 8/125
Conclusão: para elevar uma fração a um expoente, elevam-se o numerador e o denominador da fração desse expoente.
Exemplo
a) (5/7)² = 5²/ 7² = 25/49

1) Toda fração de expoente 1 dá como resultado a própria fração
Exemplo: (3/8)¹ = 3/8)

2)Toda a fração elevada ao expoente zero dá como resultado o número
Exemplo : (3/4)º = 1

Exercícios
1) Calcule as potências
a) (2/3)² = (R: 4/9)
b) (4/7)² = (R: 16/49)
c) (7/5)² = (R: 49/25)
d) (1/3)² = (R: 1/9)
e) (5/3)² = (R: 25/9)
f) (7/30)º = ( R: 1)
g) (9/5)¹ = (R: 9/5)
h) (2/3)³ = (R: 8/27)
i) (1/5)³ = (R: 1/125)j) (1/2)² = (R: 1/4)
k) (2/3)º= (R: 16/81)
l) (2/5)¹ = (R: 2/5)
m) (3/11)² = (R: 9/121)
n) (9/4)º = (R: 1)
o) (12/13)² = (R: 144/169)
p) (1/2)º = (R: 1/32)
q) (3/7)³ = ( R: 27/343)

Divisão de Frações

Vamos calcular ½ : 1/6
Para dividir uma fração por outra, basta multiplicar a primeira fração pela inversa da segunda
Assim: ½ : 1/6 = ½ x 6/1 = 6/2 = 3
Exemplos:a
) 2/3 : 5/2 = 2/3 x 2/5 = 4/15
b) 7/9 : 1/5 = 7/9 x 5/1 = 35/9
c) 3/7 : 4 = 3/7 x ¼ = 3/28

Exercícios
1) Efetue as divisões
a) ¾ : 2/5 = (R: 15/8)
b) 5/7 : 2/3 = (R: 15/14)
c) 4/5 : 3/7 = (R: 28/15)
d) 2/9 : 7/8 = (R: 16/63)
e) 1/6 : 5/3 = (R: 3/30) ou (3/10)
f) 7/8 : ¾ = (R: 28/24) ou (7/6)
g) 8/7 : 9/3 = (R: 24/63)
h) 4/5 : 2/5 = (R: 20/10) ou (2/1) ou ( 2)
i) 5/8 : ¾ = (R: 20/24) ou (5/6)
j) 2/9 : 4/7 = (R: 14/36) ou (7/18)

2) Efetue as divisões :
a) 5 : 2/3 = (R: 15/2)
b) 4 : 1/7 = (R: 28/1) ou (28)
c) 8/9 : 5 = (R: 8/45)
d) 3/7 : 3 = (R: 3/21)
e) 7/3 : 4/7 = (R: 49/12)
f) 2/3 : ½ = (R: 4/3)
g) 4/5 : 2/3 = (R: 12/10)
h) 2/7 : 5/3 = (R: 6/35)
i) 3/7 : 2 = (R: 3/14)
j) 3/2 : 5/7 = (R: 21/10)
k) 3/8 : 4/7 = (R: 21/32)

Multiplicação de Frações

MULTIPLICAÇÃO
Vamos Calcular : 2/3 x 4/5 = 8/15
Conclusão : multiplicamos os numeradores entre si e os denominadores entre si
Exemplo:a) 4/7 x 3/5 = 12/35
b) 5/6 x 3/7 = 15/42 = 5/14 simplificando

EXERCICIOS
1) Efetue as multiplicações
a) ½ x 8/8 = (R: 8/16)
b) 4/7 x 2/5 = (R: 8/35)
c) 5/3 x 2/7 = (R: 10/21)
d) 3/7 x 1/5 = (R: 3/35)
e) 1/8 x 1/9 = (R: 1/72)
f) 7/5 x 2/3 = (R: 14/15)
g) 3/5 x ½ = (R: 3/10)
h) 7/8 x 3/2 = (R: 21/16)
i) 1/3 x 5/6 = (R: 5/18)
j) 2/5 x 8/7 = (R: 16/35)
k) 7/6 x 7/6 = (R: 49/36)
l) 3/7 x 5/2 = (R: 15/14)
m) 3/10 x 5/9 = (R: 15/90)
n) 2/3 x ¼ x 5/2 = (R: 10/24)
o) 7 x ½ x 1/3 = (R: 7/6)

2) Efetue as multiplicações
a) 4/3 x ½ x 2/5 = (R: 8/30)
b) 1/5 x ¾ x 5/3 = (R: 15/60)
c) ½ x 3/7 x 1/5 = (R: 3/70)
d) 3/2 x 5/8 x ¼ = (R: 15/64)
e) 5/4 x 1/3 x 4/7 = (R: 20/84)

3) Efetue as multiplicações
a) 2 x 5/3 = (R: 10/3)
b) 3 x 2/5 = (R: 6/5)
c) 1/8 x 5 = (R: 5/8)
d) 6/7 x 3 = (R: 18/7)
e) 2 x 2/3 x 1/7 = (R: 4/21)
f) 2/5 x 3 x 4/8 = (R: 24/40)
g) 5 x 2/3 x 7 = (R: 70/3)
h) 7/5 x 2 x 4 = (R: 56/5)
i) 8 x 2/3 = (R: 16/3)
j) 5/9 x 0/6 = (R: 0/54)
k) 1/7 x 40 = (R: 40/7)
l) ½ x 1/3 x ¼ x 1/5 = (R: 1/120)
m) 1 x 2/3 x 4/3 x 1/10 = (R: 8/90)

Adição e Subtração de Frações (números racionais)

ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO
1°) Como adicionarmos ou subtrairmos números fracionários escritos sob a forma de fração de denominadores iguais.
Conclusão: Somamos os numeradores e conservamos o denominador comum.
Exemplo:
a) 5/7 – 2/7 = 3/7
b) 4/9+ + 2/9 = 6/9 = 2/3
c) 3/5 – 1/5 = 2/5

Exercícios
1) Efetue as adições
a) 3/6 + 2/6 = (R: 5/6)
b) 13/7 + 1/7 = (R: 14/7)
c) 2/7+ 1/7 + 5/7 = (R: 8/7)
d) 4/10 + 1/10 + 3/10 = (R: 8/10)
e) 5/6 + 1/6 = (R: 1)
f) 8/6 + 6/6 = (R: 14/6) = (R: 7/3)
g) 3/5 + 1/5 = (R: 4/5)

2) Efetue as subtrações:
a) 7/9 – 5/9 = (R: 2/9)
b) 9/5 -2/5 = (R: 7/5)
c) 2/3 – 1/3 = (R: 1/3)
d) 8/3 – 2/3 = (R: 6/3)
e) 5/6 – 1/6 = (R: 2/3)
f) 5/5 – 2/5 = (R: 3/5)
g) 5/7 – 2/7 = (R: 3/7)

3) Efetue as operações:
a) 5/4 + ¾ - ¼ = (R: 7/4)
b) 2/5 + 1/5 – 3/5 = (R: 0/5)
c) 8/7 – 3/7 + 1/7 = (R: 6/7)
d) 7/3 – 4/3 – 1/3 = (R: 2/3)
e) 1/8 + 9/8 -3/8= (R: 7/8)
f) 7/3 – 2/3 + 1/3 = (R: 2)
g) 7/5 + 2/5 – 1/5 = (R: 8/5)
h) 5/7 – 2/7 – 1/7 = (R: 2/7)

2°) Como adicionarmos ou subtrairmos números fracionários escritos sob a forma de fração de denominadores diferentes.
Conclusão: Quando os denominadores são diferentes fazemos o m.m.c. dos denominadores .
Exemplo:a) 2/3 +1/2 = 4/6 + 3/6 = 7/6
b) 2/3 – ¼ = 8/12 – 3/12 = 5/12

Exercícios:
1) Efetue as adições:
a) 1/3 + 1/5 = (R: 8/15)
b) ¾ + ½ = (R: 5/4)
c) 2/4 + 2/3 = (R: 14/12)
d) 2/5 + 3/10 = (R: 7/10)
e) 5/3 + 1/6 = (R: 11/6)
f) ¼ + 2/3 + ½ = (R: 17/12)
g) ½ + 1/7 + 5/7 = (R: 19/14)
h) 3/7 + 5/2 + 1/14 = (R: 42/14)
i) 4/5 + 1/3 + 7/6 = (R: 69/30)
j) 1/3 + 5/6 + ¾ = (R: 23/12)
k) ½ + 1/3 + 1/6 = (R: 1)
l) 10 + 1/8 + ¾ = (R: 85/8)
m) 1/3 + 3/5 = (R:14/15)
n) ¾ + 6/7 = (R: 45/28)
o) 5/7 + ½ = (R: 17/14)
p) ½ + 1/3 = (R: 5/6)
q) 3/14 + 3/7 = (R: 9/14)
r) 3/5 + ¾ + ½ = (R: 37/20)
s) 1/12 + 5/6 + ¾ = (R: 20/12)
t) 8 + 1/5 + 4/5 = (R: 45/5)

2) Efetue as subtrações
a) 5/4 – ½ = (R: 3/4)
b) 3/5 – 2/7 = (R: 11/35)
c) 8/10 – 1/5 = (R: 6/10)
d) 5/6 – 2/3 = (R: 1/6)
e) 4/3 – ½ = (R: 5/6)
f) 13/4 – 5/6 = (R: 29/12)
g) 7/8 – 1/6 = (R: 17/24)
h) 4/5 – 1/3 = (R: 7/15)
i) 3/5 – ¼ = (R: 7/20)
j) 10/11 – ½ = (R: 9/22)
k) 6/4 – 2/3 = (R: 10/12)
l) 5/8 – ½ = (R: 1/8)
m) 4/5 – ¼ = (R: 11/20)
n) ¾ - 5/8 = (R: 1/8)
o) 9/11 – ½ = (R: 7/22)
p) 7 – 2/3 = (R: 19/3)
q) 4/2 - 2/3 = (R: 8/6)
r) 3/2 - 2/3 = (R: 5/6)
s) 1/2 - 1/3 = (R: 1/6)
t) 3/2 - 1/4 = (R: 5/4)

3) Efetue
a) 2 + 5/3 = (R: 11/3)
b) 7 + ½ = (R: 15/2)
c) 3/5 + 4 = (R: 23/5)
d) 6/7 + 1 = (R: 13/7)
e) 8 + 7/9 = (R: 79/9)
f) 5 – ¾ = (R: 17/4)
g) 2 – ½ = (R: 3/2)
h) 7/2 – 3 = (R: 1/2)
i) 11/2 – 3 = (R: 5/2)
j) 7/4 – 1 = (R: 3/4)
k) 1 – ¼ = (R: ¾ )
l) ½ - 1/3 = (R: 1/6)
m) ½ + ¼ = (R: ¾)
n) 1 + 1/5 = (R: 6/5)
o) 1 – 1/5 = (R: 4/5)

4) Calcule o valor das expressões:
a) 3/5 + ½ - 2/4 = (R: 12/20)
b) 2/3 + 5/6 – ¼ = (R: 15/12)
c) 4/5 – ½ + ¾ = (R: 21/20)
d) 5/7 – 1/3 + ½ = (R: 37/42)
e) 1/3 + ½ - ¼ = (R: 7/12)
f) ¾ - ½ + 1/3 = (R: 7/12)
g) 5/6 – ½ + 2/3 = (R: 1)
h) 4/5 – ¾ + ½ = (R: 11/20)
i) ½ + 2/3 + 2/5 + 1/3 = (R: 57/30)
j) 6/5 – ¾ + ½ - 2/3 = (R: 17/60)
k) 1/6 + 5/4 + 2/3 = (R: 25/12)

Progressão Aritmética (PA) e Progressão Geométrica (PG) - teste

O conjunto dos múltiplos de três compreendidos entre os números 70 e 220 tem n elementos. O valor de n é:
a) 48
b) 53
c) 52
d) 55
e) 50

Na seqüência (1/2, 5/6, 7/6, 3/2,...), o termo de ordem 30 é:
a) 29/2
b) 61/6
c) 21/2
d) 65/6
e) 67/6

Usando-se um conta-gotas, um produto químico é misturado a uma quantidade de água da seguinte forma: a mistura é feita em intervalos regulares, sendo que no primeiro intervalo são colocadas quatro gotas e nos intervalos seguintes são colocadas quatro gotas mais a quantidade misturada no intervalo anterior. Sabendo-se que no último intervalo o número de gotas é 100, o total de gotas do produto misturadas à água é:
a) 1300
b) 1100
c) 1600
d) 900
e) 1200

As somas dos n primeiros termos das seqüências aritméticas (8, 12,...) e (17, 19,...) são iguais. Então, n vale:
a) 18
b) 16
c) 14
d) 10
e) 12

Qual é o décimo termo da progressão geométrica (1, 2, 4, 8,...)
a) 510
b) 511
c) 512
d) 513
e) 514


GABARITO
1. E       2. B         3. A         4. D       5. C

Módulo de um Número Inteiro

Define-se o módulo de um número inteiro como sendo o número sem o seu sinal algébrico. Assim é que , representando-se o módulo de um número inteiro x qualquer por |x|, poderemos citar como exemplos:
| –7 | = 7; | – 32 | = 32; | 0 | = 0; etc
O módulo de um número inteiro é, então, sempre positivo ou nulo.

O Conjunto dos Números Inteiros

Z = {... , – 4, – 3, – 2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... }
O conjunto dos números inteiros é infinito. A escolha da letra Z para representar o conjunto dos números inteiros, deve-se ao fato da palavra Zahl em alemão, significar número.

É trivial entender que o conjunto dos números naturais N é um subconjunto do conjunto dos números inteiros Z, ou seja: N
Ì Z.

Propriedades da Adição de Números Inteiros


Dados os números inteiros a, b e c, são válidas as seguintes propriedades:
1.Fechamento: a soma de dois números inteiros é sempre um número inteiro. Diz-se então que o conjunto Z dos números inteiros é fechado em relação à adição.

2.Associativa: a + (b + c) = (a + b) + c

                           2 + ( 3 + 7 ) = ( 2 + 3 ) + 7

3. Comutativa: a + b = b + a

                           3 + 7 = 7 + 3

4. Elemento neutro: a + 0 = 0 + a = a . Zero é o elemento neutro da adição.

                                  7 + 0 = 7

5. Unívoca: o resultado da adição de dois números inteiros é único.

6. Monotônica: Uma desigualdade não se altera, se somarmos um mesmo número inteiro a ambos os membros, ou seja, se a  > b então a + c > b + c.


Observação:
Elemento oposto: Para todo z em Z, existe (-z) em Z, tal que:
z + (-z) = 0
9 + (-9) = 0

Ordem e Simetria no Conjunto dos Inteiros

O sucessor de um número inteiro é o número que está imediatamente à sua direita na reta (em Z) e o antecessor de um número inteiro é o número que está imediatamente à sua esquerda na reta (em Z).
Exemplos:
(a)  3 é sucessor de 2
(b)  2 é antecessor de 3
(c) -5 é antecessor de -4
(d) -4 é sucessor de -5
(e)  0 é antecessor de 1
(f)  1 é sucessor de 0
(g) -1 é sucessor de -2
(h) -2 é antecessor de -1
Todo número inteiro exceto o zero, possui um elemento denominado simétrico ou oposto -z e ele é caracterizado pelo fato geométrico que tanto z como -z estão à mesma distância da origem do conjunto Z que é 0.
Exemplos:
(a) O oposto de ganhar é perder, logo o oposto de +3 é -3.
(b) O oposto de perder é ganhar, logo o oposto de -5 é +5.

Frações

1- Quanto é:
a) 15% de 70
b) 70% de 30
c) 20% de 220

2- Dos 28 bombons que estavam na gaveta, já comi 75%. Quantos bombons ainda me restam?

3- Escreva na forma decimal:

a) 85%
b) 23%
c) 6%

4- Classifique as frações em própria, imprópria e aparente.

a) 1/3
b) 5/2
c) 8/4
d) 5/3
e) 12/6
f) 9/3

5- Coloque as frações em ordem crescente: 2/3, 1/5, 10/2


6- Simplifique as frações:

a) 121/55
b) 90/64
c) 234/390

7- Escreva uma fração equivalente a um meio cujo denominador seja dez.


8- (1,0) Quinze pessoas foram convidadas para uma festa e apenas 8 compareceram.

a) Qual a fração que indica a presença?
b) Qual a fração que indica a ausência?


9- Qual fração irredutível equivale a noventa e seis, cento e vinte e quatro avos?


10- Um mês tem trinta dias. Escreva a fração do mês correspondente a:

a) 5 dias
b) 17 dias

Porcentagem

1. Sobre um ordenado de R$ 380,00 são descontados 8% para o INSS, de quanto é o total de desconto?
2. Comprei uma bicicleta pro R$ 500,00. Revendi com um lucro de 15%. Quanto ganhei?
3. Seu pai comprou um rádio por R$ 85,00 e obteve um desconto de 12%. Quanto pagou pelo rádio?
4. Um comerciante comprou certa mercadoria pelo valor de R$ 9 500,00. Querendo obter um lucro de 12%, por que preço deverá vender a mesma?
5. Uma prestação de R$ 1 300,00 ao ser paga com atraso sofreu um acréscimo de 4%. Qual o novo valor dessa prestação?
6. Numa classe de 40 alunos, 36 foram aprovados. Qual foi a taxa de porcentagem dos aprovados?
7. Um feirante observou que, em cada 75 laranjas, 6 estavam estragadas. Qual a taxa de porcentagem das frutas estragadas?
8. Comprei um automóvel por R$ 23 000,00 e revendi com um lucro de R$ 1 610,00. Qual foi a taxa de lucro?
9. Um homem recebeu um desconto, numa compra cujo valor era de R$ 82 000,00, de R$ 1 312,00. Calcule a taxa de desconto?
10. Um produto custa R$ 400,00 e é vendido pelo valor de R$ 52,00. Qual á a taxa de lucro?
11. Numa turma de 30 operários faltaram 12. Qual a taxa de operários presentes?
12. As tarifas de ônibus, em certa cidade, foram majoradas, passando de R$ 1,60 para R$ 2,16. Qual foi a taxa de aumento?
13. Oito por cento dos vencimentos de um operário equivalem a R$ 33,60. Calcule o total de seus vencimentos.
14. Numa classe da Universidade “Seraqsaiu” foram reprovados 15% dos alunos, isto é, 9 alunos. Quantos universitários havia na classe?
15. Um corretor de imóveis recebeu R$ 17 000,00 correspondentes a 5% de sua comissão. Qual o valor da venda?
16. Numa indústria, 15% dos operários são solteiros. Se a indústria possui 700 operários, quantos são os casados?
17. Numa prova de 40 questões, quem errou 6 questões acertou quantos %?
18. (UFSC) Após um aumento de vinte por cento um livro passa a custar R$ 180,00. Qual era o preço do livro antes do aumento?
19. Uma verba de R$ 360 000,00 foi assim distribuída: para o setor A, 36 mil reais; para o setor B, 108 mil reais e para o setor C 216 mil reais. Que percentuais representam, simultaneamente, estas parcelas?
20. Quantos % ganha sobre o preço de custo, a pessoa que sobre o preço de venda ganha 40%?

Respostas:
1. 30,40     2. 75,00          3. 74,80         4. 10 640,00         5. 1352,00             6. 90%           
 7. 8%       8. 7%               9. 1,6%          10. 30%              11. 60%                 12.35%                  
13. 420    14. 60             15. 340mil       16.595                  17. 85%                 18. 150                  
19. 10, 30, 60%              20. aprox. 66,67%

Média aritmética

1. A média aritmética de cinco números é 13. Quatro desses números são 7, 9, 11 e 14. Qual é o quinto número?
2. (FUVEST) Ache a média aritmética dos números 3/5, 13/4 e ½.
3. Numa feira, a cebola estava sendo vendida assim: 6 kg – R$ 5,00/kg; 10 kg – R$ 4,00/kg; 24 kg – R$ 3,00/kg. Qual o preço médio do quilo de cebola?
4. Qual é a média aritmética dos números 2,1; 3,8; 5,2 e 2,3?
5. (PUC) A média aritmética de um conjunto de 12 números é 9. Se os números 10, 15 e 20 forem retirados do conjunto, qual será a média aritmética do restante?
6. (ESCOLA NAVAL) A média aritmética de 50 números é 38. Se dois dos números, 45 e 55, são suprimidos qual será a média?
7. Em uma classe com 30 rapazes e 20 moças, foi realizada uma prova: a média deles foi 7 e delas 8. Qual a média da classe?

Respostas:
1. 24     2. 29/20     3. 3,55       4. 3,35        5. 7          6. 37,5          7. 7,4

Olimpíada Brasileira de Matemática

O número 10 pode ser escrito de duas formas como soma de dois números primos:
10 = 5 + 5 e 10 = 7 + 3. De quantas maneiras podemos expressar o número 25 como uma soma de dois números primos? 
a)       4
b)      1
c)       2
d)      3
e)       Nenhuma das respostas

Polinômios

  1. Efetue as operações com polinômios e apresente a resposta na forma reduzida:
a) (x³ - 3 + 5x² ) + (- 7x² + 11x³ - 2)
b) (12x - xy + 3y) + (5yx - 9x + xy)
c) (x³ - 3x - 3) - (x² - 5) + (- 7x² + 3x³ )

  1. Efetue as operações com polinômios e apresente a resposta na forma reduzida:
a) (11a² + 2b )(- 5ab - 2a)
b) (12xy - 3)(- 5x - 4y +10xy)
c) (- 8r + 2s)(8r - 2s)

  1. Efetue as operações com polinômios e apresente a resposta na forma reduzida:
a) (169x6 y3 ): (-13x³ y)
b) (6x4 - 3 + 3x): (3x)
c) (27y³m - 81y 2m² - 36y²m): (- 9y²m)

Problemas com equações de 1º grau

1) O dobro de um número aumentado de 15 é igual a 49. Qual é esse número?
2) A soma de um número com o seu triplo é 48. Qual é esse número?
3) Somando 5 anos ao dobro da idade de Sônia, obtemos 35 anos. Qual é a idade de Sônia?
4) A soma das idades de Carlos e Mário é 40 anos. A idade de Carlos é da idade de Mário. Qual a idade de Mário?
5) Um número tem 4 unidades a mais que outro. A soma deles é 150. Quais são os números?
6) Fábia tem 5 anos a mais que Marcela. A soma da idade de ambas é igual a 39 anos. Qual a idade de cada uma?
7) A soma de dois números consecutivos é igual a 145. Quais são esses números?
8) A soma de um número com seu sucessor é 71. Qual é esse número?
9) A soma de dois números é igual a 37 e a diferença é 13. Quais são esses números?
10) As idades de três irmãos somam 99 anos. Sabendo-se que o mais jovem tem um terço da idade do mais velho e o segundo irmão tem a metade da idade do mais velho, qual a idade do mais velho? Qual a idade do mais jovem?

Números naturais

Determine o valor das expressões:
a)      110 – 29 – 54 + 34 =
b)      20 – 6 x 3 + 15 =
c)      43 + 10 x 5 =
d)      150 – 5 x 22 + 3 x 16 =

 
2.      Uma indústria de palitos de fósforo coloca 40 palitos em cada caixa. Se a produção diária é de 53.025 palitos, responda:
a)      Com essa produção, é possível, encher quantas caixas?
b)      Quantos palitos sobram?
c)      Quantos palitos faltam para encher uma nova caixa?

3.      O Brasil foi descoberto pelos portugueses no ano de 1.500. Em 2025 quantos anos fará que o Brasil foi descoberto?

4.      Calcule:
1.      (2 x 3 - 4)² + 10 : 5
2.      [16 : 8 + (4 : 2 + 2 x 1) 2 ] - 5
3.      (4 x 2 - 3 x 1)² + 18 : 9 + 24 : 4
4.      21 : 7 + (5 x 1 – 2 x 2)5 + 10
5.      [(5 + 12) - 6]² + 45 : 5 + 1
6.      20  :4 + 6 : 3 + (3 x 4 - 9 x 1)²
7.      [14 + (4 x 5 - 3 x 6)³ ] -18 : 9
8.      (3 x 6 -7 x 2)³+ (16 : 8 – 12 : 12)6
9.      8+ 63 : (14 : 7 + 6°)² + 2 x 10
10.  8 : 4 + (4 - 16 : 8)² + (10 : 5 + 45 : 9)°

Área de polígonos

1.      Temos um triângulo equilátero de lado 6 cm. Qual é o perímetro e qual é a área deste triângulo?

2.      Um trapézio tem a base menor igual a 2, a base maior igual a 3 e a altura igual a 10. Qual a área deste trapézio?

3.      Sabendo que a área de um quadrado é 36cm², qual é seu perímetro?

4.      Calcule a área e o perímetro (em metros) dos retângulos descritos:
a)      a = 25 e b = 12
b)      a = 14 e b = 10
5. Um triângulo retângulo tem um cateto de medida 2 cm e hipotenusa de medida 6 cm. Determine sua área.


Regra de três composta

1.       Uma casa é construída em 6 dias por vinte operários, que trabalham nove horas por dia. Em quantos dias doze operários, trabalhando 5 horas por dia, poderiam fazer a mesma casa?
2.       Uma olaria produz 1470 tijolos em 7 dias, trabalhando 3 horas por dia? Quantos tijolos produzirá em 10 dias, trabalhando 8 horas por dia?
3.       Oitenta pedreiros constroem 32 m de muro em 16 dias. Quantos pedreiros serão necessários para construir 16 m de muro em 64 dias?
4.       Um ônibus percorre 2232 km em 6 dias, correndo 12 horas por dia? Quantos quilômetros percorrerá em dez dias, correndo 14 horas por dia?
5.       Numa fábrica, 12 operários trabalhando 8 horas por dia conseguem fazer 865 caixas de papelão. Quantas caixas serão feitas por 15 operários que trabalhem 10 horas por dia?
6.       Vinte máquinas, trabalhando 16 horas por dia, levam 6 dias para fazer um trabalho. Quantas máquinas serão necessárias para executar o mesmo serviço?
7.       Numa indústria têxtil, oito alfaiates fazem 360 camisas em 3 dias. Quantos alfaiates são necessários para que sejam feitas 1080 camisas em 12 dias?
8.       Um ciclista percorre 150 km em quatro dias, pedalando três horas por dia. Em quantos dias faria uma viagem de 400 km, pedalando 4 horas por dia?
9.       Uma máquina fabricou 3200 parafusos, trabalhando 12 horas por dia, durante 8 dias. Quantas horas deverá trabalhar por dia para fabricar 5000 parafusos em 15 dias?
10.   Para pintar 20 m de muro de 80 cm de altura foram gastas 5 latas de tinta. Quantas latas serão gastas para pintar 16 m de muro de 60 cm de altura?
11.   Três máquinas imprimem 9000 cartazes em 12 dias. Em quantos dias 8 máquinas imprimem 12000 cartazes, trabalhando o mesmo número de horas por dia?
12.   Na fabricação de 20 camisas, 8 máquinas gastam 4 horas. Para produzir 15 camisas, 4 máquinas quantas horas gastam?
13.   Nove operários produzem 5 peças de 8 dias. Quantas peças serão produzidas pro 12 operários em 6 dias?
14.   Em 7 dias, 40 cachorros consomem 100 kg de ração. Em quantos dias 15 cachorros consumirão 75 kg de ração?
15.   (USP) Uma família de seis pessoas consome, em dois dias, três kg de pão. Quantos quilos serão necessários para alimentá-la durante cinco dias estando  ausentes duas pessoas?
16.   (FEP – PA) Para asfaltar um km de estrada, trinta homens gastaram 12 dias trabalhando oito horas por dia. Vinte homens, para asfaltar 2 km da mesma estrada, trabalhando 12 horas por dias gastarão quantos dias?

Regra de três simples

1.       Com oito eletricistas podemos fazer a instalação de uma casa em três dias. Quantos dias levarão seis eletricistas para fazer o mesmo trabalho?
2.       Com seis pedreiros podemos construir uma parede em oito dias. Quantos dias gastarão três pedreiros para fazer a mesma parede?
3.       Uma fábrica engarrafa 3000 refrigerantes em seis horas. Quantas horas levará para engarrafar 4000 refrigerantes?
4.       Quatro marceneiros fazem um armário em 18 dias. Em quantos dias nove marceneiros fariam o mesmo armário?
5.       Trinta operários constroem uma casa em 120 dias. Em quantos dias 40 operários construiriam essa casa?
6.       Uma torneira despeja em um tanque 50 litros de água em 20 minutos. Quantas horas levará para despejar 600 litros?
7.       Na construção de uma escola foram gastos quinze caminhões de 4 m³ de areia. Quantos caminhões de 6m³ seriam necessários para fazer o mesmo trabalho?
8.       Com 14 litros de tinta podemos pintar uma parede de 35 m². Quantos litros são necessários para pintar uma parede de 15 m²?
9.       Um ônibus, a uma velocidade média de 60 Km/h, fez um percurso em quatro horas. Quanto levará, aumentando a velocidade média para 80 Km/h?
10.   Para se obterem 28 Kg de farinha, são necessários 40 Kg de trigo. Quantos quilogramas do mesmo trigo são necessários para se obterem 7 Kg de farinha?
11.   Cinco pedreiros fazem uma casa em 30 dias. Quantos dias levarão 15 pedreiros para fazer a mesma casa?
12.   Uma máquina produz 100 peças em 25 minutos. Quantas peças produzirá em uma hora?
13.   Uma bomba retira de um reservatório 2 m³ de água em 30 minutos. Quanto tempo levará para retirar 9 m³ de água?
14.   Um automóvel faz um percurso de 5 horas à velocidade média de 60 Km/h. Se a velocidade fosse de 75 Km/h, quantas horas gastaria para fazer o mesmo percurso?
15.   Uma torneira despeja 2700 litros de água em 1 hora e meia. Quantos litros despeja em 14 minutos?
16.   Num livro de 270 páginas, há 40 linhas em cada página. Se houvesse 30 linhas, qual seria o número de páginas desse livro?
17.   Quatro quilogramas de certo produto químico custam R$ 24 000,00. Quanto custará 7,2 kg desse mesmo produto?

quinta-feira, 27 de janeiro de 2011

Frases matemáticas


A Geometria é a arte de raciocinar sobre as figuras mal desenhadas. (A. Poincaré, 1854-1912)


A História mostra que os chefes de império que encorajaram o culto das Matemáticas, fonte comum de todas as ciências exatas, são também aqueles cujo reinado foi mais brilhante e cuja glória é mais duradoura. (Miches Charles, 1783-1880)


A Matemática é a chave de ouro com que podemos abrir todas as ciências. (Victor Duruy, 1811-1894)

A Matemática é a honra do espírito humano. (Leibniz, 1646-1716)


A Matemática é o mais maravilhoso instrumento criado pelo gênio do homem para a descoberta da verdade. (Laisant, 1841-1920)


A Matemática não é um livro fechado. (James J. Sylvester, 1814-1897)


Fora esse grande “Todo” que me dá cabo da paciência! Viva o Zero, que me deixa em sossego! (Victor Hugo, 1802-1885, in “Os Miseráveis”).


Mas há uma outra razão que explica a elevada reputação das Matemáticas, é que elas levam às ciências naturais exatas uma certa proporção de segurança que, sem elas, essas ciências não poderiam obter. (Albert Einstein, 1870-1955)


Não há estradas reais para chegar à Geometria. (Disse Euclides, 360/295 a.C, ao jovem faraó Ptolomeu I em Alexandria)


O grande arquiteto do universo começa agora a aparecer como um matemático puro. (J. H. Jeans, 1930)


Olhando para a imensidade desta matéria, a Matemática, mesmo a Matemática moderna, é uma ciência na sua infância. (A. N. Whitehead, 1861-1947)
Os pontos não têm partes nem dimensões. Como podem combinar-se para formar uma linha (J. A. Lindon, 1975-~)


Para criar uma filosofia sã é preciso renunciar à metafísica e tornar-se apenas um bom matemático. (Bertrand Russel, 1872-1970)


Por estranho que possa parecer, o poder das Matemáticas reside no fato de que elas se obtêm de todo o pensamento inútil e economizam admiravelmente as operações mentais. (E. Mach, 1838-1916)


Por toda a parte existe Geometria. (Platão, 348/347 a.C)


- Quem? O infinito? Diz-lhe que entre. Faz bem ao infinito estar entre gente. (Alexandre O Neill, 1924-1986)


Seria possível dizer o que é a Matemática se esta fosse uma ciência morta. Mas a Matemática é, pelo contrário, uma ciência viva, que se encontra hoje, mais do que nunca, em rápido desenvolvimento, proliferando cada vez mais em novos ramos, que mudam não só a sua fisionomia, como até a sua essência. (José Sebastião e Silva, 1914-1972  in  Enciclopédia "FOCUS")


Só um governo inteligente sabe proteger a Matemática. (Piérre Rousseau, 1849-1912)
Toda a educação científica que não se inicia com a Matemática é, naturalmente, imperfeita na sua base. (Auguste Conte, 1798-1857)


Toda a minha Física não passa de uma Geometria. (Descartes, 1596-1650)


Um matemático que não é também um pouco poeta nunca será um matemático completo. (K. Weierstrass, 1815-1897)

quarta-feira, 26 de janeiro de 2011

Problemas com Proporção

1.      Um garoto de um metro de altura projeta uma sombra de 0,5m. No mesmo instante, um edifício de 18m irá projetar uma sombra de quantos metros?
2.      Uma fotografia tem 10 cm de largura e 15 cm de comprimento. Queremos ampliá-la de modo que seu comprimento tenha 18 cm. Então,, na foto maior, quanto medirá a largura?
3.      Em uma caixa, a razão entre o número de maçãs e o número de laranjas é 3:2. Se o número de maçãs é 36, então qual o número de laranjas.
4.      A razão entre a minha idade e a idade do meu tio é 2/5 e juntos temos 42 anos. Quantos anos tenho?
5.      Um pai dividiu R$ 5000,00 entre dois filhos na razão 2/3. Quanto recebeu cada filho?
6.      A razão entre dois números é 3/8. Se a soma do maior com o dobro do menor é 42, qual é o maior deles?
7.      Cortaram 20 kg de carne em dois pedaços, cuja razão é 2/3. Quanto pesa o pedaço maior?

Respostas:
1. 9                  2. 12                3. 24                4. 12                5. 2000 e 3000            6. 24                7. 12

Expressões Numéricas

1) Calcule o valor das expressões:
a) 5/8 + ½ -2/3                       b) 5 + 1/3 -1/10          c) 7/8 – ½ - ¼             d) 2/3 + 3 + 1/10
e) ½ + 1/6 x 2/3                      f) 3/10 + 4/5 : ½          g) 2/3 x ¾ - 1/6           h) 7 – ¼ + 1/7
i) 3 . ½ - 4/5                            j) 7/4 – ¼ . 3/2            k) ½ + 3/2 . ½             l) 1/10 + 2/3 . ½
m) 7 . ½ + (4/5                        n) (1/3)² + 2/5 . ½       o) (1/2)² : ¾ + 5/3       p) (1/3)² . 5/2 + ½
q) 2/5 . ½ + ( 3/5)²                  r) (2/3)²+ 4 + 1/3 -1/2

2) Calcule o valor da expressão:
a) 5/6 – ( 1/3 + 1/5)                            b) 2/5 . ( ¾ + 5/8)                   c) ½ : ( 2/3 + ¾ )        
d) ( 1/3 + ½ ) : 5/6                              e) ½ . (2/3 + ¾)                      f) ( 5/7 . 2/3 ) : 1/6      
g) (3/2 - 2/5 ) + ( 5/4 - 2/3)                 h) 1 + (1/2 - 1/5) - (7/4 - 5/4)                                    
i) ( 7/8 - 5/6) + ( 8/9 - 7/9)                  j) (¾ . ½ + 2/5 ) + ¼               k) ( 2/3 . ¼ ) + ( 1/3 . ½)
l) ( 5- ½ ) : ( 2 – 1/3)                           m) (3. 5/2) : ( 1/5 + 1/3 )         n) ( 3 . ¾ ) + ( 3 . ¼ ) 
o) ( 3 + ½ ) . 4/5 – 3/10                      p) ½ : 1/3 + ¾ . 5/9                 q) 3/8 . ( ½ . 4/3 + 4/3 )
r) ( 1/3 + ¼ ) : 5/2 + 2/3                      s) ( ¾ + ¼ - ½ ) : 3/2             
t) ( 1 + 1/3 )² . 9/4 + 6 l) 1 + (3/2)² + ( 1 + ¼ )

Equações de 1º grau

 1 – Resolva as equações de 1º grau.
a) 5 x + 6 = – 4
b) 3 x + 26 = – 1
c) 4 x – 8 – 2 x = x – 2
d) 10 x – 8 – 2 = 7 x – 4
e) 2 x + 5 – 5 x = – 1
f) 4 x – 4 – 5 x = – 6 + 90
g) – 3 x + 10 = 2 x + 8 + 1
h) 3 x – 4 = 11
i) 4 x + 6 = 12 – 2 x
j) x – 10 – 8 = 2 x + 4
k) 5 x + 4 x – 10 = 2 x – 2
l) 10 – 9 x + 2 x = 2 – 3 x
m) x + 2 x – 1 – 3 = x
n) – 10 + 4 – 2 x = – 4 x – 7
o) 2 – 4 x = 32 – 18 x + 12
p) 2 x + 3 = 9
q) 3 x + 7 = x + 3
r) – 7 x + 4 + 10 x = 4 – 2 x
s) 5 + 6 x = 5 x + 2
t) 2 – 3 x = – 2 x + 12 – 3 x
u) 7 x – 4 – x = – 2 x + 8 – 3 x
v) 2 ( x + 1 ) – ( x – 1 ) = 0
w) 13 + 4 ( 2 x – 1 ) = 5 ( x + 2 )

 2 – Resolva as equações do 1º grau.
a) 4 ( x + 5 ) + 3 ( x + 5 ) = 21
b) 8 ( x – 1 ) = 8 – 4 ( 2 x – 3 )
c) 2 ( x + 5 ) – 3 ( 5 – x ) = 10
d) 4 x – 1 = 3 ( x – 1 )
e) 3 ( x – 2 ) = 2 x – 4
f) 7 ( x – 4 ) = 2 x – 3
g) 2 ( x – 1 ) = 3 x + 4
h) 3 ( x – 2 ) = 4 ( 3 – x )
i) x – 7/4 = – 5x/2
j) – x/3 – 3/4 = 1/6 + 3x/2
k) 4m/5 – 3m/10 = 5m/2 – 6
l) 2/3 – 7y/6 = y/3 – 1/2
m) – 11z/20 – 1/2 = 3/4 – z/5