Ao observarmos a bola de futebol verificamos que embora as áreas do hexágono (brancas) estejam lado a lado, nós jamais vemos duas áreas de pentágonos se tocando (os pentágonos nunca compartilham uma extremidade).
Na verdade, cada pentágono (área escura) é separado do seguinte pelos hexágonos.
Se considerar a simetria e observar cuidadosamente, verá que cada canto da bola de futebol reside em um pentágono (nenhum está em um hexágono apenas).
Como há 12 pentágonos e cada pentágono possui cinco cantos, então deve haver 12 x 5 = 60 cantos na bola de futebol.
Lei de Euler
O matemático Euler (suíço, séc XVIII) descobriu uma fórmula simples que conta o número de faces (F), cantos (C) e o número de extremidades (E) em formas simples:
Ele observou que F + C - E = 2 para diversas formas,onde F, C e E são os números correspondentes a face, cantos e extremidades.
Por exemplo, pegue um cubo (um dado): ele possui seis faces, 8 cantos e 12 extremidades – então nós temos 6 + 8 - 12 = 2, o que funciona.
Agora, em uma bola de futebol nós temos 60 cantos e cada canto tem 3 extremidades (que se seguem entre dois cantos). Isso significa que há 3/2 de extremidades para cada canto, resultando em um total para a bola toda de 60 x 3/2 = 90 extremidades.
Agora sabemos que temos:
C = 60, E = 90, F = número de pentágonos + hexágonos = 12 + H
Convertendo estes na fórmula C + F - E = 2, podemos utilizá-la para prever o número de hexágonos (H):
C + F - E = 2
60 + (12 + H) - 90 = 2
o que, reestruturando, nos dá:
H = 2 + 90 - 12 - 60 =20 hexágonos na bola de futebol.
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domingo, 6 de março de 2011
Ábaco
O ábaco é um instrumento que, segundo os estudiosos, foi invenção dos chineses para facilitar os cálculos.
O ábaco é formado por fios paralelos e contas ou arruelas deslizantes, que de acordo com a sua posição, representa a quantidade a ser trabalhada, contém 2 conjuntos por fio, 5 contas no conjunto das unidades e 2 contas que representam 5 unidades.
Para se realizar cálculo no ábaco procede-se da seguinte forma: começa à esquerda, ou na coluna mais alta envolvida em seu cálculo, trabalha da esquerda para a direita. Assim, se tiver 548 e desejar somar com 637, primeiro colocará 548 na calculadora. Daí, adiciona 6 ao 5. Segue o padrão 6 = 10 – 4 por remover o 5 na vara das centenas e adicionar 1 na mesma vara (- 5 + 1 = - 4) daí, adicione uma das contas de milhares à vara da esquerda. Daí passa o três ao quatro, o sete ao oito, no ábaco aparecerá a resposta: 1.185.
Por operar da esquerda para a direita, o cálculo pode ser iniciado assim que souber o primeiro dígito. Na aritmética mental ou escrita, o cálculo começa a partir das unidades ou do lado direito do problema.
O ábaco é formado por fios paralelos e contas ou arruelas deslizantes, que de acordo com a sua posição, representa a quantidade a ser trabalhada, contém 2 conjuntos por fio, 5 contas no conjunto das unidades e 2 contas que representam 5 unidades.
Para se realizar cálculo no ábaco procede-se da seguinte forma: começa à esquerda, ou na coluna mais alta envolvida em seu cálculo, trabalha da esquerda para a direita. Assim, se tiver 548 e desejar somar com 637, primeiro colocará 548 na calculadora. Daí, adiciona 6 ao 5. Segue o padrão 6 = 10 – 4 por remover o 5 na vara das centenas e adicionar 1 na mesma vara (- 5 + 1 = - 4) daí, adicione uma das contas de milhares à vara da esquerda. Daí passa o três ao quatro, o sete ao oito, no ábaco aparecerá a resposta: 1.185.
Por operar da esquerda para a direita, o cálculo pode ser iniciado assim que souber o primeiro dígito. Na aritmética mental ou escrita, o cálculo começa a partir das unidades ou do lado direito do problema.
Número Capícua
Um número é capicua quando lido da esquerda para a direita ou da direita para a esquerda representa sempre o mesmo valor, como por exemplo 77, 434, 6446, 82328. Para obter um número capicua a partir de outro, inverte-se a ordem dos algarismos e soma-se com o número dado, um número de vezes até que se encontre um número capicua, como por exemplo:
Partindo do número 84: 84 + 48 = 132; 132 + 231 = 363, que é um número capicua.
Partindo do número 84: 84 + 48 = 132; 132 + 231 = 363, que é um número capicua.
sexta-feira, 28 de janeiro de 2011
Geometria das Abelhas
As abelhas constroem os favos com extrema regularidade, com um trabalho que parece executado com cálculos prévios, onde a Matemática é a grande auxiliar.
Os favos são construídos com favos fabricados pelas abelhas. Desta forma, elas precisam construir alvéolos com perímetro reduzido e área maximizada.
Alguns matemáticos explicam que somente com quadrados, triângulos regulares e hexágonos regulares podem formar pavimentações de modo que não exista nenhum espaço entre eles.
Então porque as abelhas utilizam o hexágono?
Vamos analisar um quadrado, um triângulo e um hexágono com o mesmo perímetro (1200 u.a.) para ver qual deles possui a maior área.
Área do triângulo
Lado = 400 u.c.
Altura = 346 u.c.
Então: 400 x 346 = 138400 : 2 = 69200 u. a.
Área do quadrado
Lado = 300 u.c.
Altura = 346 u.c.
Então: 300 x 300 = 90000 u.a.
Área do hexágono
Lado = 200 u.c.
Altura = 100V3 u.c. (V= raiz quadrada)
Então: 200 x 100V3 = 20000V3 x 6 ≈102000 u.a.
Portanto as abelhas resolveram um problema complicado: no menor espaço constroem células regulares e iguais, com a maior capacidade e solidez, empregando a menor quantidade de matéria prima possível.
Os favos são construídos com favos fabricados pelas abelhas. Desta forma, elas precisam construir alvéolos com perímetro reduzido e área maximizada.
Alguns matemáticos explicam que somente com quadrados, triângulos regulares e hexágonos regulares podem formar pavimentações de modo que não exista nenhum espaço entre eles.
Então porque as abelhas utilizam o hexágono?
Vamos analisar um quadrado, um triângulo e um hexágono com o mesmo perímetro (1200 u.a.) para ver qual deles possui a maior área.
Área do triângulo
Lado = 400 u.c.
Altura = 346 u.c.
Então: 400 x 346 = 138400 : 2 = 69200 u. a.
Área do quadrado
Lado = 300 u.c.
Altura = 346 u.c.
Então: 300 x 300 = 90000 u.a.
Área do hexágono
Lado = 200 u.c.
Altura = 100V3 u.c. (V= raiz quadrada)
Então: 200 x 100V3 = 20000V3 x 6 ≈102000 u.a.
Portanto as abelhas resolveram um problema complicado: no menor espaço constroem células regulares e iguais, com a maior capacidade e solidez, empregando a menor quantidade de matéria prima possível.
Problema clássico: galinhas e coelhos
Em um terreiro há galinhas e coelhos, num total de 13 animais e 46 pés. Quantas são as galinhas e quantos são os coelhos?
Sendo galinhas = G (2 pés) e
Coelhos = C (4 pés) temos:
G + C = 13 e 2G + 4C = 46.
Ou seja: G = 13 – C
Então 2(13 – C) + 4C = 46.
Assim C = 10 e G = 3
Sendo galinhas = G (2 pés) e
Coelhos = C (4 pés) temos:
G + C = 13 e 2G + 4C = 46.
Ou seja: G = 13 – C
Então 2(13 – C) + 4C = 46.
Assim C = 10 e G = 3
Aplicação da Lei de Euler - estrutura da bola de futebol
Ao observarmos a bola de futebol verificamos que embora as áreas do hexágono (brancas) estejam lado a lado, nós jamais vemos duas áreas de pentágonos se tocando (os pentágonos nunca compartilham uma extremidade).
Na verdade, cada pentágono (área escura) é separado do seguinte pelos hexágonos.
Se considerar a simetria e observar cuidadosamente, verá que cada canto da bola de futebol reside em um pentágono (nenhum está em um hexágono apenas).
Como há 12 pentágonos e cada pentágono possui cinco cantos, então deve haver 12 x 5 = 60 cantos na bola de futebol.
Lei de Euler
O matemático Euler (suíço, séc XVIII) descobriu uma fórmula simples que conta o número de faces (F), cantos (C) e o número de extremidades (E) em formas simples:
Ele observou que F + C - E = 2 para diversas formas,onde F, C e E são os números correspondentes a face, cantos e extremidades.
Por exemplo, pegue um cubo (um dado): ele possui seis faces, 8 cantos e 12 extremidades – então nós temos 6 + 8 - 12 = 2, o que funciona.
Agora, em uma bola de futebol nós temos 60 cantos e cada canto tem 3 extremidades (que se seguem entre dois cantos). Isso significa que há 3/2 de extremidades para cada canto, resultando em um total para a bola toda de 60 x 3/2 = 90 extremidades.
Agora sabemos que temos:
C = 60, E = 90, F = número de pentágonos + hexágonos = 12 + H
Convertendo estes na fórmula C + F - E = 2, podemos utilizá-la para prever o número de hexágonos (H):
C + F - E = 2
60 + (12 + H) - 90 = 2
o que, reestruturando, nos dá:
H = 2 + 90 - 12 - 60 =20 hexágonos na bola de futebol.
Na verdade, cada pentágono (área escura) é separado do seguinte pelos hexágonos.
Se considerar a simetria e observar cuidadosamente, verá que cada canto da bola de futebol reside em um pentágono (nenhum está em um hexágono apenas).
Como há 12 pentágonos e cada pentágono possui cinco cantos, então deve haver 12 x 5 = 60 cantos na bola de futebol.
Lei de Euler
O matemático Euler (suíço, séc XVIII) descobriu uma fórmula simples que conta o número de faces (F), cantos (C) e o número de extremidades (E) em formas simples:
Ele observou que F + C - E = 2 para diversas formas,onde F, C e E são os números correspondentes a face, cantos e extremidades.
Por exemplo, pegue um cubo (um dado): ele possui seis faces, 8 cantos e 12 extremidades – então nós temos 6 + 8 - 12 = 2, o que funciona.
Agora, em uma bola de futebol nós temos 60 cantos e cada canto tem 3 extremidades (que se seguem entre dois cantos). Isso significa que há 3/2 de extremidades para cada canto, resultando em um total para a bola toda de 60 x 3/2 = 90 extremidades.
Agora sabemos que temos:
C = 60, E = 90, F = número de pentágonos + hexágonos = 12 + H
Convertendo estes na fórmula C + F - E = 2, podemos utilizá-la para prever o número de hexágonos (H):
C + F - E = 2
60 + (12 + H) - 90 = 2
o que, reestruturando, nos dá:
H = 2 + 90 - 12 - 60 =20 hexágonos na bola de futebol.
Número Capícua
Um número é capicua quando lido da esquerda para a direita ou da direita para a esquerda representa sempre o mesmo valor, como por exemplo 77, 434, 6446, 82328. Para obter um número capicua a partir de outro, inverte-se a ordem dos algarismos e soma-se com o número dado, um número de vezes até que se encontre um número capicua, como por exemplo:
Partindo do número 84: 84 + 48 = 132; 132 + 231 = 363, que é um número capicua.
Partindo do número 84: 84 + 48 = 132; 132 + 231 = 363, que é um número capicua.
Módulo de um Número Inteiro
Define-se o módulo de um número inteiro como sendo o número sem o seu sinal algébrico. Assim é que , representando-se o módulo de um número inteiro x qualquer por |x|, poderemos citar como exemplos:
| –7 | = 7; | – 32 | = 32; | 0 | = 0; etc
O módulo de um número inteiro é, então, sempre positivo ou nulo.
| –7 | = 7; | – 32 | = 32; | 0 | = 0; etc
O módulo de um número inteiro é, então, sempre positivo ou nulo.
O Conjunto dos Números Inteiros
Z = {... , – 4, – 3, – 2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... }
O conjunto dos números inteiros é infinito. A escolha da letra Z para representar o conjunto dos números inteiros, deve-se ao fato da palavra Zahl em alemão, significar número.
É trivial entender que o conjunto dos números naturais N é um subconjunto do conjunto dos números inteiros Z, ou seja: N Ì Z.
O conjunto dos números inteiros é infinito. A escolha da letra Z para representar o conjunto dos números inteiros, deve-se ao fato da palavra Zahl em alemão, significar número.
É trivial entender que o conjunto dos números naturais N é um subconjunto do conjunto dos números inteiros Z, ou seja: N Ì Z.
Propriedades da Adição de Números Inteiros
Dados os números inteiros a, b e c, são válidas as seguintes propriedades:
1.Fechamento: a soma de dois números inteiros é sempre um número inteiro. Diz-se então que o conjunto Z dos números inteiros é fechado em relação à adição.
2.Associativa: a + (b + c) = (a + b) + c
2 + ( 3 + 7 ) = ( 2 + 3 ) + 7
3. Comutativa: a + b = b + a
3 + 7 = 7 + 3
4. Elemento neutro: a + 0 = 0 + a = a . Zero é o elemento neutro da adição.
7 + 0 = 7
5. Unívoca: o resultado da adição de dois números inteiros é único.
6. Monotônica: Uma desigualdade não se altera, se somarmos um mesmo número inteiro a ambos os membros, ou seja, se a > b então a + c > b + c.
Observação:
Elemento oposto: Para todo z em Z, existe (-z) em Z, tal que:
z + (-z) = 0
9 + (-9) = 0
9 + (-9) = 0
Ordem e Simetria no Conjunto dos Inteiros
O sucessor de um número inteiro é o número que está imediatamente à sua direita na reta (em Z) e o antecessor de um número inteiro é o número que está imediatamente à sua esquerda na reta (em Z).
Exemplos:
(a) 3 é sucessor de 2
(b) 2 é antecessor de 3
(c) -5 é antecessor de -4
(d) -4 é sucessor de -5
(e) 0 é antecessor de 1
(f) 1 é sucessor de 0
(g) -1 é sucessor de -2
(h) -2 é antecessor de -1
Todo número inteiro exceto o zero, possui um elemento denominado simétrico ou oposto -z e ele é caracterizado pelo fato geométrico que tanto z como -z estão à mesma distância da origem do conjunto Z que é 0.
Exemplos:
(a) O oposto de ganhar é perder, logo o oposto de +3 é -3.
(b) O oposto de perder é ganhar, logo o oposto de -5 é +5.
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